Cauchy probléma

Megoldás a Cauchy probléma egy függvény az intervallum , tartalmazó x 0>. amely a megoldást a (1) egyenlet, valamint kielégíti a kezdeti feltétel (2).

Definíció. Megoldás A integrál egyenlet: y (x) = y 0 + ∫ x 0 x f (s y (ek).) D s. (3) + \ int _> ^ f (s, y (ek)) ds, >>

Lemma. A függvény az y = φ (x) előállítása A Cauchy probléma, ha, és csak akkor, ha ez a megoldás az integrál egyenlet.

∫ x 0 XD φ ds (ek) dx = ∫ x 0 xf (k φ (k).) Ds ⇒ φ (x) - φ (x 0) = ∫ x 0 xf (k φ (k).) Ds ⇒ φ (x) = y 0 + ∫ x 0 xf (s. φ (k)) d s. ∀ x ∈> ^> (S) dx = \ int \ határok _> ^ f (s, \ phi (s)) ds \ Rightarrow \ Phi (x) - \ Phi (X _) = \ int \ határok _> ^ f (s , \ phi (s)) ds \ Rightarrow \ Phi (x) = y _ + \ int \ határok _> ^ f (s, \ phi (s)) ds, \ forall x \ in >

Most y = φ (x) - a megoldás a integrál egyenlet, azt mutatják, hogy ez a megoldás a diff. egyenletet, és kielégíti a kezdeti feltétel. Ehhez az első helyettesítő (3) x = x 0>. y (x 0) = y 0 + ∫ x 0 x 0 f (s y (ek) DS = y 0 -. a kezdeti feltétel) = y _ + \ int \ határok _> ^> F (s, y (s) ds = y _ >>

Differenciálás (3), így kapjuk (1)

Definíció. A sorozat funkciók <φ n> n = 1 ∞ \> _ ^> egyenletesen korlátos, ha ∃ C> 0. | φ n (x) |

Lemma Ascoli Arzela. Peano-tétel szerkesztése

Lemma Ascoli Arzela. Bármely egyenletesen korlátos és folyamatos szekvencia működik equi <φ n> n = 1 ∞ \> _ ^> lehet kiválasztani egyenletesen konvergens alszekvencia φ n k ⇉ φ (x). (Φ ∈ C [a. B])> \ rightrightarrows \ varphi (x), (\ varphi \ C [a, b])>

Bizonyítás. enged <φ n> n = 1 ∞ \> _ ^> - egyenletesen korlátos és equicontinuous. ε 2 = 1 C N = >> - osztja a téglalapot függőleges csíkok magasság ε 1> 1, és a h hossza <δ ( ε 1 ) <\delta (\varepsilon _)>

Ütemezése minden egyes funkciók φ n> nem lehet több, mint két szomszédos párok magassága téglalapok ε 1>. Minden függőleges vonal van egy pár téglalap, ami egy végtelen gráfok, annyi téglalap persze, és alszekvenciáit végtelenségig. Mi választjuk ki a szekvenciarésznek funkciók négyszöget <φ 1 n> n = 1 ∞ \> _ ^>

⏟ φ φ 11 12 ... φ 1 n φ 21 φ 22 ⏟ ... φ 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ φ p φ p 1 2 ... φ p n ⏟ \ underbrace> \ Varphi _ \ dots \ Varphi _ \\\ varphi _ \ underbrace> \ dots \ Varphi _ \\\ vdots \ vdots \ ddots \ Vdots \\\ varphi _ \ varphi _ \ dots \ Underbrace> \\\ vége >>

Peano tétel. Legyen F meghatározott és folyamatos a G és hagyja, hogy a pont (x 0. y 0) ∈ G, Y _) \ G>

Ekkor létezik egy megoldás a Cauchy probléma definiált bizonyos intervallum [x 0 - △. x 0 + △] - \ vartriangle, x _ + \ vartriangle]>

A függvény folytonos egy zárt halmaz, de a pálya-határolt rajta: ∃ L = M a x (x y.) ∈ S | f (x y.) | <∞ |f(x,y)|<\infty> . Fix néhány N és tekintsünk egy partíció az intervallum: x i = x 0 + i * h n. h n = △ N = x_ + i * h_, h _ = >>. Rajz Euler áttört (x 0. y 0), y _)>. oly módon, hogy a szögletes együttható f (x i. y i), y _)> a (x i. x i + 1), x _)>. A vonallánc nem haladja meg a △. amióta kitört a dőlésszög nagyobbnak kell lennie, mint az L, és ez lehetetlen. megkapjuk a szekvencia <φ N ( x )> N = 1 ∞ (X) \> _ ^>.

A [x j. xj + 1] φ N (x) = φ N (xj) + f (x j φ N (xj).) (X - xj), x _] \ varphi _ (x) = \ varphi _ (x _) + F (x _, \ varphi _ (X _)) (X-X _)>

A szekvencia határolja: y 0 - △ L ≤ φ N (x) ≤ y 0 + △ L ∀ x ∈ [x 0. x 0 + △] ∀ N ≥ 1 - \ vartriangle L \ leq \ varphi _ (x) \ leq y _ + \ vartriangle L \ forall x \ in [x_, x _ + \ vartriangle] \ forall N \ geq 1> (1) Azt is megjegyzik, hogy a szekvenciája egyenletesen folytonos: ∀ ε> 0 ∃ δ (ε) = ε L ∀ X ”. x „∈ [x 0. x 0 + △] | x „- x„| <δ ( ε )>\ Forall x 'x' '\ in [x_, x _ + \ vartriangle] | X'-X' „|<\delta (\varepsilon )> Ezért Ascoli Lemma Arzela ∃ φ N k (x) ⇉ φ (x)> (x) \ rightrightarrows \ varphi (x)> a [x 0. x 0 + △], x _ + \ vartriangle]>. Itt φ - a megoldás a Cauchy probléma.

Mi fix egy pont x ∈ [x 0. x 0 + △], x _ + \ vartriangle]> .Ha változik el N. van egy kép rólam alszegmensekből, de minden alkalommal x fog tartozni, bizonyos intervallum [x i. x i + 1]. i = i N k, x _]. i = i _ >>

Az első kifejezés az összegben a szegmens hosszát nullához törekedni fog arra, hogy az integrál: y 0 + Σ j = 1 i + 1, f (x j φ N k (x j).) H N k. J = ∫ x 0 xf (s. φ (k)) ds + \ sum \ határok _ ^ f (x _, \ varphi _> (X _)) h_, J> = \ int \ határok _> ^ f (s, \ varphi (ok)) ds>.

| O s t | lehet értékelni | Σ j = 0 i [f (x j φ N k (x j).) - f (x j φ (x j).)] H N k. j | ≤ ε △ ^ [f (x _, \ varphi _> (X _)) - f (x _, \ varphi (X _))] h_, J> | \ leq \ varepsilon \ vartriangle> ha N k> N 0 (ε) > N _ (\ varepsilon)>. Ez arra utal, hogy az O s t → 0, ha k → ∞> k \ rightarrow \ infty>

Most viszont, hogy peredlu ha k → ∞. φ (x) = φ 0 + ∫ x 0 x f (s. φ (k)) d s + \ int \ határok _> ^ f (s, \ phi (s)) ds>. ravnenstvo igaz ∀ x ∈ [x 0. x 0 + △], x _ + \ vartriangle]>

Egyediségét a megoldás a Cauchy probléma szerkesztése

Definíció. Funkció F megfelel a helyi G Lipschitz állapotban a y változó, ha ∀ (x 0. y 0) ∈ G 1 ∃, y _) \ in G_ \ létezik> U környezete (x 0. y 0), y _)> és konstans L = L (x 0. y 0)> 0 | f (x y”.) - f (x y”.) | ≤ L | y „- y„| ∀ (x y. ') (X Y”.) ∈ U (x 0. y 0), y _)> 0: | f (x, y') - f (x, y '') | \ leq L | y'-y '' | \ forall (x, y) (x, y „) \ U (x_, y _)>

Tétel. Ha az f függvény kielégíti a helyi Lipschitz feltételt, akkor az egyetlen megoldás a Cauchy probléma

Nem üres halmaz, a pontok és korlátozott. φ 1 (β) = φ 2 (β) (\ beta) = \ varphi _ (\ beta)>

Mivel φ folyamatos szuprémum - maximális átlagos φ 1 (β) = φ 2 (β) = γ (\ beta) = \ varphi _ (\ beta) = \ gamma> és φ 1 (x)> φ 2 (x) ∀ x ∈ (β. x *] (x)> \ varphi _ (x) \ forall x \ in (\ beta, x ^]><>