Cauchy probléma a megoldás, differenciálegyenletek

megoldások a differenciálegyenlet y „= f (x, y) függ a állandók u, ezért számos megoldás ennek az egyenletnek. Szeretném tisztázni a feltételeket az f (x, y), ahol kiválaszthat egy partikuláris megoldása ennek az egyenletnek, amely kielégíti az előre meghatározott követelményeknek. Mert elsőrendű egyenletet követelmények a következők.

Megtalálja a megoldást a differenciálegyenlet:
y „= f (x, y) (1)
feltételeket teljesítő
y (x0) = y0. (2)
Ezeket a feltételeket az úgynevezett Cauchy feltételekkel. és a probléma elosztása a megoldás kielégíti a Cauchy - Cauchy probléma.

A megoldva a kezdeti kifejezést úgy kell csökkenteni, hogy a forma: a1 (x) y „+ A0 (x) y = b (x). Például, a y'-exp (x) = 2 * y akkor Y'-2 * y = exp (x).

Definíció. Azt mondjuk, hogy az f (x, y) kielégíti Lipschitz y D, ha bármely két pont (x, y1), (x, y2) ebből a régióból, az egyenlőtlenséget:
| F (x, y1) - f (x, y2) | ≤ L | y1 - y2 |, (3)
ahol az L- egy konstans, amely nem függ x.

Tétel. (Létezése és egyedisége). Tegyük fel, hogy a (1) egyenlet y „= f (x, y) függvény f (x, y), meghatározott régióban D a gépen, folyamatos az x és Lipschitz (3) az y. Aztán ott van egy intervallum bármely pontjára (x0 - # 955;, x0 + # 955;), és a függvény az y = # 966; (x) meghatározott intervallumon, úgy, hogy Y = # 966; (x) egy olyan megoldás, amely megfelel a (2) feltétellel. Ez a megoldás egyedülálló abban az értelemben, hogy ha y = # 966; (x) a megoldást a (1) egyenlet meghatározása az intervallumot (# 945;, # 946;), amely magában foglalja a pont x0. és kielégíti a feltétel (2), a funkció # 966; (x) és az f (x) jelentése azonos, ahol mindketten meghatározva.