Számtani sorozat lampa - online tutorial, hogy mindenki tudja javítani

Kezdjük egy számtani sorozat.

Mi egy számtani sorozat?

Számtani sorozat - egy számszerű sorrendben alkotnak 1. egy 1 + d. 1 + a 2 d. egy 1 + n d. a_1, a_1 + d, a_1 + 2d. a_1 + nd. 1 a. 1 + d. 1 + a 2 d. egy 1 + n d.
azaz egy olyan szekvencia számok, amelyek mindegyike, kezdve a második, nyert az előző oldathoz állandó számú ddd (különbség számtani sorozat): an = egy - 1 + d a_n = a_ + da n = n - 1 + d.

A végső szegmens egy szekvencia véges számtani sorozat. vagy egyszerűen egy számtani sorozat.

A bármely két egymást követő szempontjából a szekvencia ak a_k egy K és ak + 1 a_ egy k + 1, a köztük lévő különbség egyenlő az azonos számú: ak + 1 - ak = d a_-a_k = da k + 1 - k = d.

Például, egy sorozat 4 4 4. 6 6 6. 8 8 8. 1 0 10 1 0 1 2 12 1 2 jelentése egy számtani a különbség február 2. 2. Ez a növekvő számtani sorozat.

Sequence 3 3 3 2 2 2 1 1 1 0 0 0. - 1 -1 - 1 egy számtani sorozat a különbség - 1 -1 - 1. Ez egy csökkenő számtani sorozat.

Ez számtani sorozat következő sorrendben: 1 1 1 - 1 -1 - 1 2 2 2 - 2 -2 - 2 3 3 3 - 3 -3 - 3.

Hogyan talál egy tetszőleges kifejezés progresszió?

Ha tudjuk, hogy a különbség az első ciklus egy számtani sorozat, akkor könnyen talál más tagja ennek a progresszió. Tény, hogy egy 2 = a 1 + d a_2 = a_1 + d 2 = a 1 + d. 3 = a 2 + d = a + 1 2 d a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d 3 = a 2 + d = a + 1 2 d. 4 = a 3 = a + d 1 + d 3 = a_4 a_3 d + a_1 + 3d = A 4 ​​= 3 = a + d 1 + d 3, stb k k k-adik távon meg tudjuk találni a következő képlet szerint:

K = a 1 + (k - 1) d. a_k = a_1 + (k-1) d. K = a 1 + (k - 1) d.

Megkeresése 1 0 0 1 1001 1 0 0 1 th távú egy számtani sorozat 7 7 7. 1 7 17 1 7. 2 7 27 2 7 ..

Ha nem tudjuk, hogy 1 1 1-én, és, mondjuk, 1 0 10 1 0-dik távon a progresszió is találunk bármely más tagja, ha ismerjük a különbséget. Például, ha meg akarjuk találni augusztus 1 18 1 8-án távon tudjuk használni azt a tényt, hogy egy 1 8 1 0 = a + 8 d a_ = a_ + 8d 1 8 1 0 = a 8 + d.

A következő képlet összeköti bármely két tagja a progresszió:

A n = a k + (n - k) d. a_n = a_k + (n-k) d. A n = a k + (n - k) d.

Keresse 2 2 2 th távú progresszió, ha ismeretes, hogy a február 1 12 1 2-én kifejezés jelentése 5 február 25 február 5-én a különbség egyenlő 2 2 2.

Hogyan lehet megtalálni a különbség a számtani sorozat?

A fenti képlet, akkor könnyen megtalálja a különbség a progressziómentes, tudva, bármely két tagját. Tény, hogy a képlet egy n = a k + (n - k) d a_n = a_k + (n-k) d n = a k + (n - k) d következőképpen ezt a képletet:

d = a n - egy k n - k. d = \ frac. d = n - k egy n - egy k.

Egy egyszerű feladat most már készen áll a progresszió (ebben az első írási nyilatkozatot a probléma formájában számtani sorozat képlet):

Hermione volt az első nap a Roxfortban tanult a helyesírás, és megtanulja, minden nap több varázslatot több, mint az előző nap. Este 8 8 8 napon megtudta 1 5 15 1 5 varázslatokat. Hány varázslatok több tanul minden nap?

Ne feledje, ez az egyszerű szabály:
Ha a probléma növekedése egy bizonyos összeget, ugyanazt a számot, akkor beszélünk egy számtani sorozat.

Egy jellemző tulajdonsága egy számtani sorozat

Vegyünk néhány számtani sorozat, például: 1 = 2 a = 5 2 3 = 8 a = 1 4 1. a_1 = 2, a_2 = 5, a_3 = 8, a_4 = 11. 1 a 2 = 2. a = 5, 3 = 8 a = 1 4 1 minden n ≥ 2 n \ ge 2 n ≥ 2. (n + 1 ) (n + 1) (n + 1) -edik távú előrehaladásának nagyobb nnn th a d = 3, d = 3 és d = 3. nnn tagja -edik (n - 1) (n-1) (n - 1 ) -edik is d = 3, d = 3, d = 3. Ezért nnn th távú egyenlő a számtani átlaga (n - 1) (n-1) (n - 1) -edik és (n + 1) (n + 1 ) (n + 1) -edik tagja.

Ez könnyen ellenőrizhető, hogy a következő nyilatkozatot teszi:

A sorozat egy 1. a 2. a 3. a_1, a_2, a_3. 1 a. 2. 3. a. egy számtani, ha, és csak akkor, ha egy = egy - 1 + an + 1 2 a_n = \ frac + A_> n = 2 a N - 1 + n + 1 minden n ≥ 2 n \ ge 2 n ≥ 2.

Hajtottunk végre, majd egy általános tulajdonság: an = egy - k + an + K 2 a_n = \ frac + A_> n = 2 n - k + n + k . ahol n> k n \ gt k n> k.

1 1 1 th távú egy számtani sorozat egyenlő - 1 8 -18 - az 1. és 8. 1 0 1 101 1 0 1 st = 2 1 8 218 2 1 8. Mi 5 1 51 január 5-én távon?

Összege az első n n n szempontjából egy számtani sorozat

Egy másik általános képletű ami gyakran hasznos:

Összege az első n n n szempontjából egy számtani sorozat: S n = 1 + 2 +. + A n = 1 + n 2 ⋅ n. S_n = a_1 + a_2 +. + A_n = \ frac \ cdot n. S n = 1 + 2 +. + A n = 2 a 1 + a n ⋅ n.

Ha megérted, hogy ez a formula származik, akkor emlékezni sokkal könnyebb lesz.

Az első és utolsó tagja a összeget egy 1 + n a_1 + a_n egy 1 + n. A második és utolsó előtti - szintén 1 + n a_1 + a_n egy 1 + n. mint a 2 + egy - 1 = a 1 + d + egy - d = 1 + egy a_2 + A_ = a_1 + d + a_n-d = a_1 + a_n egy 2 + n - 1 = 1 a + d + n - d = 1 + a n. Hasonlóképpen, a harmadik kifejezés progresszió és harmadik végétől tag progresszió ad egy 1 + n + a_1 a_n egy 1 + n, stb
Vannak két esetben:
1) Ha a progresszióját páros számú tagjai, ők vannak osztva pár (a K egy n -. K) (a_k, a_) (K egy n -. K). k = 1 2 n k = 1. \ Frac k = 1 2 n. ahol az összeg a tagok mindegyik pár egy 1 + n a_1 + a_n egy 1 + n. Mivel minden pár n 2 \ frac 2 n. akkor az összeg az összes számot progresszió egyenlő (1 + n) ⋅ n 2 (a_1 + a_n) \ cdot \ frac (1 + n) ⋅ 2 n.
2) Amennyiben a progresszió páratlan számú tagok, egy kivételével az összes (központi) tagjai, osztva pár (a K egy -. K) (a_k, a_) (K egy n -. K) . k = 1 n - 1 február k = 1. \ Frac k = 1 2 n - 1. egy összeg egyenlő 1 + n a_1 + a_n egy 1 + n. Összesen fordul n - 1 2 \ frac 2 n - 1 ilyen pár. Központi tag (member száma n + 1 2 \ frac 2 n + 1) értéke 1 + egy 2 \ frac 2 1 + n (az átlag az első és az utolsó tagja progresszió). Akkor az összeg egy számtani sorozat egy 1 + 2 +. + A N = (1 + n) ⋅ n - 1 + 1 2 + n 2 = (1 + n) ⋅ n 2 a_1 + a_2 +. + A_n = (a_1 + a_n) \ cdot \ frac + \ frac = (a_1 + a_n) \ cdot \ frac egy 1 + 2 +. + A N = (1 + n) ⋅ 2 n - 1 + 1 2 + n = ( egy 1 + n) ⋅ 2 n.

Így, jóllehet csak az első és utolsó tagja a progresszió, akkor előfordulhat, hogy érdemes a következő képlet segítségével:

S n = (1 + n) ⋅ n 2. S_n = (a_1 + a_n) \ cdot \ frac. S n = (1 + n) ⋅ 2 n.

Mi van, ha tudjuk, hogy csak az első ciklus progresszióját és a különbség a progresszió? Akkor kifejezni egy n a_n egy n keresztül 1 a_1 egy 1 és d d d és szubsztituált a képlet az összege:
S n = (1 + egy) ⋅ n 2 = (1 + 1 + (n - 1) d) ⋅ n 2 = na 1 2 + d ⋅ n (n - 1) 2. S_n = (a_1 + a_n) \ cdot \ frac = (a_1 + a_1 + (n-1) d) \ cdot \ frac = \ frac + d \ cdot \ frac. S n = (1 + n) ⋅ 2 n = (1 + 1 + (n - 1) d) ⋅ 2 n = 2 na 1 + d ⋅ 2 n (n - 1).

Egy fontos speciális esete összeg számtani sorozat képlet egy összege az első n n n pozitív egész szám: 1 + 2 +. + N = n (n + 1) 2 + 1 2 +. + N = \ frac + 2 + 1. + N = 2 n (n + 1).

Carl Friedrich Gauss, aki később a nagy matematikus, függetlenül nyert ez a képlet az osztályteremben az iskolában számtani. Akarják tartani a gyerekeket elfoglalt hosszú ideig, a pedagógus azt kérte tőlük, hogy számít a számok összege 1 1 1 1 0 0 100 1 0 0 Young Gauss észrevette, hogy az összeg a páros ellentétes végei felől ugyanaz: 1 + 1 = 1 0 0 0 1 1 + 100 = 101 1 + 1 0 0 = 1 0 1. 2 + 9 9 = 1 0 1 2 + 99 = 101 2 + 9 9 = 1 0 1, stb és azonnal kapott az eredmény 5 0 ⋅ = 1 0 1 5 0 5 0 50 \ cdot 101 = 5050 ⋅ 0 5 1 0 1 5 0 5 = 0.

Megjegyezzük, hogy Gauss használt számítás ugyanazt a módszert, hogy mi bizonyításában használt a képlet az összege egy számtani sorozat.

A probléma megoldásának, az alábbi képletet az összege az első n n n szempontjából egy számtani sorozat:

Petrov, a diák meg kell oldani június 4 0640 6 4 0 feladatokat jól felkészülni a vizsgára. Petrov az a fajta ember, aki mindent megtesz az utolsó pillanatban, így a szorongás növeli a vizsgálat napját. Növekvő aggodalom miatt neki eldönteni, minden nap egy bizonyos számú feladat meghaladja, úgy döntött, az előző nap. Tudjuk, hogy úgy döntött, az első napon csak 1 0 10 1 0 feladatokat, de még volt ideje felkészülni a vizsgára.

Határozza meg, hogy hány feladat Petrov döntött a negyedik napon, amikor minden előkészületet vett 16 nap.

Természetesen a koncentráló képessége Petrova a döntő pillanatban sztrájk! Ez jó, hogy a feladatok száma, hogy elhatározta, nőtt a matematikában. ahelyett exponenciálisan.

következtetés

Itt van egy másik formula, amely lehetővé teszi, hogy megoldja szinte minden problémát számtani sorozat:

K = a 1 + (k - 1) d; a_k = a_1 + (k-1) d; K = a 1 + (k - 1) d; d = a n - egy k n - k; d = \ frac; d = n - k egy n - a k; S n = 1 + 2 +. N + a = (1 + n) ⋅ n 2 2 = a 1 + (n - 1) d 2. S_n = a_1 + a_2 +. + A_n = (a_1 + a_n) \ cdot \ frac = \ frac. S n = 1 + 2 +. N = a + (1 + n) ⋅ 2 n = 2 a 1 2 + (n - 1) d.