Extremum egy függvény több változó internetes

előző ◈ a következő
Szabályzat beviteli lehetőségek:
  1. Minden változó varazhayutsya keresztül x, y
  2. Minden matematikai műveletek kifejezve hagyományos szimbólumok (+, -, *, /, ^). Például az x 2 + xy, írva, mint x ^ 2 + x * y.
  3. Négyzetgyök: sqrt. Például, sqrt (x ^ 2 + 1/2 * y ^ 2), arcsin (x) = asin (x). e x = exp (x)

A funkció három változó használható hesseni mátrixban.

Algoritmus tanulmány függvényében két változó a szélsőérték

Z = f (x, y) van egy maximális a ponton M0 (X0, y0), ha f (x0; y0)> f (x; y) az összes pont (x; y), elegendően közel a pont (X0; y0), és különbözik attól. Z = f (x, y) a legkisebb ponton M0 (X0, y0), ha f (x0; y0) dz / dx és dz / dy.
2. Oldja meg az egyenletrendszert:


és így a kritikus pontokat.
3. Keresse meg a másodrendű parciális deriváltak:


4. értékeit számítjuk ki a másodrendű parciális megtalálható minden egyes kritikus pontok a 2. igénypont szerinti M (x0; y0).


5. megállapítja, hogy Extrema:
a) Ha az AC - B 2> 0 és A <0. то в точке M имеется максимум;
b) ha az AC - B 2> 0 és A> 0. Ekkor a M pont van egy minimális;
c) ha az AC - B 2 <0, то экстремума нет;
d) amennyiben az AC - B 2 = 0, akkor a kérdést, hogy a szélsőérték még nyitva van;

Példa. Find szélsőértékében az f (x, y) = x 3 + xy 2 + x 2 + y 2 és meghatározza a kritérium Sylvester típusuk.
Határozat.
1. Azt látjuk, az első részleges származékok.


2. Oldja meg az egyenletrendszert.
3x 2 + 2x + y 2 = 0
2xy + 2y = 0
kapjuk:
a) Az első egyenletből kifejezzük az x és helyettesítő a második egyenletet:
X = -1
2 y + 1 = 0
Ez az egyenletrendszer nincs megoldása.
b) Az első egyenletből kifejezzük y és helyettesítő a második egyenletet:
„/>

vagy
„/>

vagy
Ahol x1 = -2/3; x2 = 0; x3 = -2/3; x4 = 0
Ezeket az értékeket az esetben az expressziós x y. Kapunk: Y1 = 0; y2 = 0; y3 = 0; y4 = 0
A száma kritikus pontok 2: M1 (-2/3; 0), az M2 (0, 0)
3. Tegyük a másodrendű parciális deriváltak.



4. kiszámítjuk az érték a másodrendű parciális származékok a kritikus pontok M (x0; y0).
Értékek meghatározásához azt a pontot az M1 (-2/3; 0)



AC - B 2 = 4 = 2 -4/3> 0 és A> 0. Ekkor M2 (0, 0) minimum z (0, 0) = 0
Következtetés. Pontjában M2 (0; 0) van legalább z (0, 0) = 0

előző ◈ a következő